Союз damit и конструкция um...zu... образуют придаточные предложения цели или намерения, соотвествующие русским предложениям с союзом "чтобы".

Примеры:

Er hat uns seine Telefonnummer gegeben, damit wir ihn morgen telefonieren. - Он дал нам свой телефонный номер, чтобы мы ему завтра позвонили.
Ich bin gekommen, um mich nach Ihrer Gesundheit zu erkundigen. - Я пришел справиться о Вашем здоровье.

Конструкция um...zu... может использоваться только когда подлежащие главного предложения совпадает с подлежащим придаточного. Союз damit в основном используется когда подлежащие придаточного предложения не совпадает с подлежащим главного, но не обязательно - в некоторых случаях его можно использовать вместо um...zu...

Примеры:

Wir haben früh erwacht um mehr Zeit vor ihrer Ankunft zu haben. = Wir haben früh erwacht, damit wir mehr Zeit vor ihrer Ankunft haben. - Мы проснулись пораньше, чтобы у нас было больше времени перед её приходом.
Sie entschied alles am Freitag zu machen, um am Wochenende frei zu sein. = Sie entshied alles am Freitag zu machen, damit sie am Wochenende frei ist. - Она решила всё сделать в пятницу, чтобы быть свободной на выходные.